問題
次の問いに答えよ．
(1) $a$ が正の実数のとき $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+a^n)^\frac{1}{n}$ を求めよ．
(2) 定積分 $\displaystyle\int_1^\sqrt{3}\frac{1}{x^2}\log\sqrt{1+x^2}dx$ の値を求めよ．
次の問いに答えよ．
(1) $a$ が正の実数のとき $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+a^n)^\frac{1}{n}$ を求めよ．
(2) 定積分 $\displaystyle\int_1^\sqrt{3}\frac{1}{x^2}\log\sqrt{1+x^2}dx$ の値を求めよ．
(1)
(i) $0<a\leq 1$ のとき
$1\leq(1+a^n)^\frac1n\leq 2^\frac1n\to 1\ (n\to\infty)$ であるから，はさみうちの原理より $(1+a^n)^\frac1n\to 1\ (n\to\infty)$
(ii) $1<a$ のとき
$a=(a^n)^{1/n}<(1+a^n)^{1/n}<(2a^n)^{1/n}=2^\frac1n a\to a\ (n\to\infty)$ であるから，はさみうちの原理より $(1+a^n)^{1/n}\to a\ (n\to\infty)$