問題
１ 次の問いに答えよ．
(1) $a$ が正の実数のとき $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+a^n)^\frac{1}{n}$ を求めよ．
(2) 定積分 $\displaystyle\int_1^\sqrt{3}\frac{1}{x^2}\log\sqrt{1+x^2}dx$ の値を求めよ．
２ 正四面体 $\mathrm{OABC}$ において，点 $\mathrm{P,Q,R}$ をそれぞれ辺 $\mathrm{OA,OB,OC}$ 上にとる．ただし $\mathrm{P,Q,R}$ は四面体 $\mathrm{OABC}$ の頂点とは異なるとする．△$\mathrm{PQR}$ が正三角形ならば，3辺 $\mathrm{PQ,QR,RP} $はそれぞれ3辺 $\mathrm{AB,BC,CA}$ に平行であることを証明せよ．
３ 実数 $x,y$ が条件 $x^2+xy+y^2=6$ を満たしながら動くとき \[x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y\] がとりうる値の範囲を求めよ．
４
(1) $\sqrt[3]{2}$ が無理数であることを証明せよ．
(2) $P(x)$ は有理数を係数とする $x$ の多項式で，$P(\sqrt[3]{2})=0$ を満たしているとする．このとき $P(x)$ は $x^3-2$ で割り切れることを証明せよ．
５ 次の命題 $\mathrm{(p),(q)}$ のそれぞれについて，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．
$\mathrm{(p)}$ 正 $n$ 角形の頂点から3点を選んで内角の1つが $60^\circ$ である三角形を作ることができるならば，$n$ は3の倍数である．
$\mathrm{(q)}$ △$\mathrm{ABC}$ と △$\mathrm{ABD}$ において，$\mathrm{AC}<\mathrm{AD}$ かつ $\mathrm{BC}<\mathrm{BD}$ ならば，$\angle\mathrm{C}<\angle\mathrm{D}$ である．
６ さいころを $n$ 回なげて出た目を順に $X_1,X_2,\cdots,X_n$ とする．さらに \[Y_1=X_1,\quad Y_k=X_k+\frac{1}{Y_{k-1}}\ (k=2,\cdots,n)\] によって $Y_1,Y_2,\cdots,Y_n$ を定める． \[\frac{1+\sqrt{3}}{2}\leq Y_n\leq 1+\sqrt{3}\] となる確率 $p_n$ を求めよ．