問題
実数 $x,y$ が条件 $x^2+xy+y^2=6$ を満たしながら動くとき \[x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y\] がとりうる値の範囲を求めよ．
実数 $x,y$ が条件 $x^2+xy+y^2=6$ を満たしながら動くとき \[x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y\] がとりうる値の範囲を求めよ．
$x+y=t$ とおく．このとき \[x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy=t^2-xy\] であるから，条件式は $t$ を用いて \[xy=t^2-6\] と表せる．$t$ の動く範囲は $X$ の方程式 \[X^2-tX+t^2-6=0\] が実数解を持つ条件として求められる．したがって，判別式 $D\geq 0$ すなわち \[D=t^2-4(t^2-6)\geq 0\ \Longleftrightarrow\ -2\sqrt{2}\leq t\leq2\sqrt{2}\] が $t$ の動く範囲である． \begin{align} x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y=t^3-t^2-5t \end{align} であり、右辺を $f(t)$ とおくと $f'(t)=3t^2-2t-5$ であり，$f'(t)=0\Longleftrightarrow t=-1,\ 5/3$ である．よって増減表は
| $t$ | $-2\sqrt{2}$ | $\cdots$ | $-1$ | $\cdots$ | $\dfrac53$ | $\cdots$ | $2\sqrt{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(t)$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ |
| $f(t)$ | $-8-6\sqrt{2}$ | $\nearrow$ | $3$ | $\searrow$ | $-\dfrac{175}{27}$ | $\nearrow$ | $-8+6\sqrt{2}$ |
となる．したがって求める値の範囲は \[-8-6\sqrt{2}\leq x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y\leq-8+6\sqrt{2}\] である．